Ressources bac STMG
stgcfe.fr devient stmg.education
Bac STMG - Mathématiques - Centres de l'étranger 2018 |
||
Cette enquête a été réalisée auprès de personnes s’y étant rendues. Il en ressort que :
On choisit de façon équiprobable l’une de ces fiches. On définit les évènements suivants : $E$ : « la fiche est celle d’une personne ayant entre 18 et 25 ans »1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie. 2. Définir par une phrase l’évènement $F\cap R$. Calculer sa probabilité. 3. Montrer que la probabilité de l’évènement $R$ est égale à 0,4935. 4. Sachant que la fiche choisie est celle d’une personne s’étant rendue au restaurant lors des festivités de 2017, calculer la probabilité que ce soit celle d’une personne ayant plus de 46 ans. Exercice 2 (4 points) Une entreprise de blanchisserie propose à ses clients d’utiliser sur place ses machines à laver. Conscient des enjeux environnementaux, le gérant s’interroge sur la consommation en eau, par cycle de lavage, de ses machines. Il fait réaliser une étude par une société de conseil spécialisée dans l’accompagnement vers la transition énergétique.1. Cette étude permet de modéliser la consommation en eau, exprimée en litre, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance 90 et d’écart type 5. Le graphique figurant en annexe, à rendre avec la copie, représente la courbe de densité de la variable aléatoire $X$. Hachurer sur ce graphique le domaine correspondant à l’évènement {$X$ > 80} et donner la valeur de sa probabilité. 2. La société de conseil suggère au gérant de remplacer ses machines par de nouvelles, moins énergivores et mieux éco-conçues. Leur consommation en eau, exprimée en litre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance 45 et d’écart type 2. Un graphique en annexe représente la courbe de densité de la variable aléatoire $Y$. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, l’aire du domaine hachuré et donner sa valeur. 3 .La société de conseil affirme au gérant que 90 % des clients sont sensibles aux questions environnementales. Avant de remplacer son parc de machines, le gérant réalise un sondage auprès de 350 clients. Ce sondage révèle alors que, parmi eux, 290 y sont sensibles. Ce résultat permet-il de remettre en cause l’affirmation de la société de conseil ? Argumenter la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation. Exercice 3 (7 points) Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l’organisation d’évènements. Le 1er avril 2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes les personnes de son carnet d’adresses.Chaque semaine, il a relevé le nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang 0 correspond à la semaine du 1er au 7 avril 2018. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : étude d’un premier modèle Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ est donnée en annexe. 1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients. 2. Julien décide d’ajuster ce nuage par la droite $D$ d’équation $y = 37x + 145$. Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $D$. Représenter la droite $D$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie. 3. Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 10 ? Partie B : étude d’un second modèle En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu’à la fin de la semaine de rang 10 est donné par le tableau ci-dessous. 1. Justifier que le taux d’évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10 est de 270 %. 2. En déduire le taux d’évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10. On fait l’hypothèse qu’à partir de la semaine de rang 10, le taux d’évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à 24 %. Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang (10 + $n$) est alors modélisé par le terme $u_n$ d’une suite de premier terme $u_0$ = 1095. 3. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison. 4. Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$. 5. Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang 20? 6. Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera 20 000. Compléter les deux lignes non renseignées dans l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle Julien sera sponsorisé. Exercice 4 (5 points) Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d’eau en plastique.Elle peut produire chaque jour entre 0 et 10 tonnes de plastique qu’elle revend en totalité au prix unitaire de 700 € la tonne. On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par $C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$ , où $C_T (x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique. Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique supplémentaire lorsqu’on a déjà produit $x$ tonnes de plastique. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Sur l’annexe sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente unitaire. On admet que le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal. 1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal. 2. Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant. Partie B On dit qu’il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen. On admet que le profit de l’entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire. 1. Pour quelles quantités de plastique produites, l’entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat sera donné sous la forme d’un intervalle. 2. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le profit soit maximal. 3. Quel est le coût moyen correspondant à cette production ? 4. En déduire le coût total correspondant. 5. Calculer le profit total maximal. Annexes à rendre avec la copie Exercice 1 Question 1 Question 2 Exercice 3 – Partie B, question 6 Exercice 4 |